光を勉強するブログ

光と流体に関して。

ナビエ・ストークス方程式の導出(1)連続体について

導出の前に連続体という概念について記します。

 

1.連続体とは

 連続体、あるいは連続体近似とは、巨視的なスケールでの力学的挙動を表現するための数学的モデルのことであり、物理量を微視的スケールについて平均して得られる物理的性質を持つものを連続体といいます。ナビエ・ストークス方程式は流体の挙動を示す方程式ですが、例えば水の流れ、金属材料の変形といった挙動を考えるときにいちいち物質の原子・分子レベルまで考えていてはキリがありません。そこで巨視的に、つまり多数の原子・分子で構成される物質(系)で考えます。これは私達の感覚からしたら非常に小さいが、分子・原子の、いわゆる量子力学で扱うようなスケールからは遥かに大きいという一見都合の良い系になります。なので連続体では量子力学的な性質ではなくそれらを平均した結果あらわれる別の性質やその性質の時間変化を力学で記述することになり、これを巨視的に記述すると呼びます。また平均の結果表れる性質を巨視的性質、そこで用いられる物理量を巨視的物理量呼びます。そして、物質の持つ物理量が空間的に変化している場合でも、変化のスケールに対して微小な領域が定義でき、かつ巨視的な物理量が定義できるとき、その物体を連続体として扱えます。

 「微小領域」という言葉を用いましたが、これは十分に微小で空間的非一様性を無視できるが、それでも十分巨大で、その中に多数の原子分子が存在するようなものです。

 

2.連続体近似が妥当なための条件

 連続体近似が妥当であるためには、原子分子の力学が関与する時間・空間スケールに比べて十分に大きい微小領域が定義できる必要があり、その微小領域物体の振る舞いについて着目したい時間・空間スケールに比べ、十分に小さい局所的なものでなくてはなりません。